Random Variables

<aside> 📖 X：random variable. Represents a distribution of potential values 随机变量就是可能取很多值的一个数。

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<aside> 📖 X ~ p(x) probability density function (PDF). 随机变量的分布 Describes relative probability(x) of a random process choosing value 随机变量取一些值有大的概率，取另外一些值有小的概率。

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Example: uniform PDF: all values over a domain are equally likely

Probabilities

随机变量可以以不同的概率取不同的值。

Expected Value of a Random Variable 期望

The average value that one obtains if repeatedly drawing samples from the random distribution.

期望就是不断地取随机变量，然后取他们的平均。

<aside> 💡 前面能看出随机变量的取值可以是离散的（固定值），那么连续情况下怎么描述变量和分布呢？

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Continuous Case: Probability Distribution Function (PDF)

上图函数中 y 的坐标不表示概率，而是任何一个点 x 周围取一个区域 dx 往上的连线，形成一个区域，这个区域才是概率。这条曲线叫做概率密度函数，简称 PDF，在蒙特卡洛积分中很重要。

概率密度函数下方形成的面积，积分为 1。

对于期望：任何一个取值 x 乘以它的概率密度并积分起来。

Function of a Random Variable

<aside> 💡 前面讨论的是一个变量的分布和期望，如果考虑一个随机变量的函数 Y，满足概率密度 PDF，那么 Y 的期望是多少呢？

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